不知道多到哪里去了

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不知道多到哪里去了

知识就是力量，欢迎回到2049.

最近数学话题比较多，很多朋友也反馈说，数学太抽象了，很多东西太难理解了，也有人说，数学话题做多了，会严重影响到播放量，于是今天我们就再做一期数学，反正我们的播放量本来就不多。

朋友们说得都对，数学当中许多的概念确实都很抽象难懂，换句话讲就是不是人说的话。比如康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理、魏尔斯特拉斯定理、博苏克-乌拉姆定理，这些数学术语光是听上去就让人觉得DAN疼。而要是真正深入学习的话，别说DAN疼了，有时候甚至是DNA都疼。

不过相比之下，无穷也是一个数学术语，但是却要比上面说这些好懂太多。那么什么是无穷呢？无穷中还有哪些姿势呢？这就是我们今天的话题了。

说起无穷，我不由地想起了多年前jzm zsj写给挚友王慧炯信中的话：世界的知识是浩瀚的，宇宙的奥秘是无穷的。任何人毕其生去捕捉、追求这些知识奥秘，也总是极其有限的。古今中外的哲人已经积累了许多知识宝库，但离无可穷尽的宇宙，还相距甚远、永无止境。宇宙千变万化，但离不开存在的客观规律。人类的智慧，可以从其中发现许多规律，如回文、勾股、黄金分割，去不断扩展已知的领域。我们要珍惜生命的有限时间，去不断开拓知识的新领域。孔老夫子说得精辟，学，然后知不足。

可见，所谓的无穷，说通俗点就是不知道大到哪里去，或者不知道长到哪里去，或者不知道多到哪里去，抑或者就是不知道高到哪里去，总之就是牛到飞起，比谁都更给力的那个量就是无穷。虽然这个观点现在看起来很简单，但人类认识无穷真正意味着什么，却经历了漫长的历史进程。

最早讨论无穷这个概念的是哲学家，早在公元前1200－900年，印度的著作《夜柔吠陀》中就对无限作出了最早的描述。书中说：如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。两千多年前，，当然了，这里的数指的是自然数。也就是说，世间的万事万物都能够用自然数来表示。

，就是发现了勾股定理，。当然了，，所以宰了一百头牛来庆祝，于是乎，勾股定理还有个名字，就叫“百牛定理”。话说到这里，按照一般故事的情节，，备受门徒爱戴，而且是一副伟大、光荣、正确的形象了。但是，，，搞了一个更大的新闻。希帕索斯发现，一个直角三角形的两个直角边如果都是1，那么斜边根本没法表示成分数。，他自己也亲手算了算。貌似希帕索斯说的是对的，这个数根本没法表示成分数，也就是没法表示为两个自然数的比值。希帕索斯这一发现，放在现代，名利双收不在话下。但是历史进程往往不按常理出牌，比各种神剧更狗血，这是因为再狗血的剧本也是有逻辑的，可是历史进程中的当事人本身是没有逻辑的。

。2是一个邪恶的数，那么能得出这样数的人，自然也不是什么好货，于是他派出手下人四处追杀希帕索斯，最终将希帕索斯沉入海中，这才有了我们现在的端午节，知识都学杂了，貌似搞混了。

那么根号2就根号2呗，这个数为什么会引起了那么大的轰动呢？答案就在于根号二如果表示为小数的话，是一长串无穷无尽且不重复的小数。这让当时的人们感到非常的困惑，也非常恐慌。还有一个类似的量，就是圆周率，古希腊的阿基米德和中国的祖冲之不约而同地，采用了类似的方法计算圆周率。他们的方法说到底就是在圆内内接一个三角形，再将这个三角形变成四边形，然后是五边形，依次类推，随着边数的增加，多边形的周长就越来越接近圆的周长。但是，随着圆周率计算精度的提高，人们发现，圆周率和根号2一样，也没法用分数表示，就这样，人们发现了这类小数点后有无穷多位数字的数，这就是无理数。

实际上除了困惑与恐慌外，无穷的概念也让古希腊人非常恼火，他们认为这样一来的话，就再也无法用数字来解释世间万物万象了。而到了现在，在我们实际运用这些无理数的时候，也只能截取前面几位来近似表示和取值，这样就不精确了，这种不精确会逼疯很多处女座的。

不过，就算根号二小数点后位数再多，它也只是一个大于1，小于2的数罢了，圆周率也一样，说穿了，它也不过是一个大概是3.14的数而已，无理数的无穷是无穷多，这还不至于把人逼疯。

更让古希腊人头疼的，其实是另一类无穷，这就是无穷大。就比如假设宇宙是没有尽头的，那么有一个勇士向外扔出一杆飞矛会发生什么呢？长矛最终会飞向哪里呢？亚里士多德对这个问题进行了长期的思考，他认为长矛不会飞向无穷远，而是会加入天上星星的行列，在一个以地球为中心的一个水晶球体内运动。

除此之外，亚里士多德还研究了圆周率等无理数。他发现，每重新计算一次，小数点后的位数都能增加一位，但我们却永远也不会知道他最末的一位是几，亚里士多德把这种现象称为“潜无穷”。与潜无穷相对的就是“实无穷”，比如组成一条线的所有点，这完全不可数。那么亚里士多德是怎么解释无穷的呢？现在看来，他也不知道，因为他把无穷的地位，留给了所谓的第一推动力，也就是超越人类理解范畴的创世原动力。这个观点得到了后来那些相信上帝存在的人的有力支持。

前面我们大致说了阿基米德求圆周率数值的方法，这种细细分割然后加在一起的技巧，在2000年后得到了发展，，微积分可以说是当今科学技术的奠基石。不过微积分的提出，并没有让无穷的理论得到发展，原因就是美国作家华莱士所形容的那样，基于潜无穷理论的数理反应。现在大家看到照片中戴头巾的人就是华莱士，当然了华莱士说的也不像人话，我们普通人也难以理解，很难和他一起谈笑自若、妙语横生的，其实他的意思简单来说就是，人们觉得无穷这个概念只有上帝才能拥有，这和亚里士多德的观点是如出一辙的。

华莱士

其实直到现在，无穷大这个概念依然让人非常困惑，因为这会得出一些极为古怪的结论。比说说有无穷多的猴子和无穷个打印机，让这些猴子在打字机上胡乱敲击键盘，只要时间足够长，。同样的，要是宇宙真的是无穷的，那么就必然存在着一个星球，上面也生活着和地球人一样的生物，甚至存在着无数多个黄博士和潘博士，而且这些黄博士中有不猥琐，有女朋友的；这些潘博士中，也有长着一头秀发的。

无限猴子猜想

显而易见的是，这样的结论是违反我们的直觉的，所以无穷大这个话题，数学家们历来是避而不谈的。不过德国数学家康托尔是不信邪的，在提出了集合论之后，他开始认真思考这个问题。假如集合里有无穷多个元素，那么这个集合就叫做无穷集合。康托尔于是想到，两个无穷集合的元素，谁多谁少能不能作比较呢？换句话说，无穷和无穷的数量能不能比一比呢？ 

康托尔

大家可以想到，无穷和无穷相互之间比较谁多谁少，这是件极为耗费脑力的事，康托尔在付出了极大的精力之后，终于提出了无限集合的相关结论，但却遭到了同行的极大反对，尤其是康托尔的老师克罗内克，关于集合论，我们打算以后专做长篇节目来讨论，今天暂且略过不表。令人唏嘘的是，在毕生的心血遭到否定之后，康托尔精神崩溃了，患上了精神疾病，以至于生命的最后几年，康托尔都是在精神病院里度过的。 

克罗内克

不过真理早晚会横扫一切偏见，虽然康托尔的研究成果在当时不被认可，但是现在数学界早已认识到康托尔研究成果的巨大意义。康托尔把集合里元素的数目叫作“势”，举个例子来说，现在民间有一个集合叫“2049团伙成员”，这个集合由四个吊丝组成，那么这个集合的“势”就是4，还有个集合叫“中国人民的老朋友”，这个集合的”势”那就多了。

像上面两个例子里，集合中元素的个数是有限的，这样很好作比较。那么要是集合里的元素有无穷多个，又该怎么比较呢？康托尔定义了一个用希伯来字母表示的量，叫阿列夫。自然数的势康托尔定义为阿列夫0，实数集的势为阿列夫1，一切可能的数学函数的总数目是阿列夫2。

康托尔通过一连串烧脑的计算证明了，阿列夫0小于阿列夫1，而阿列夫1小于阿列夫2，换句话说，虽然都是无穷大，但是实数的数量比自然数多，一切可能的数学函数的总数目又比实数多。虽然大家可能会问了，都是无穷多，又怎么相互比较呢？康托尔具体的计算，我们的能力是搞不明白了，但可以举个形象的例子就是，我们看到的满天繁星就是自然数集，我们看到的整个天幕则是实数集，而一切可能的数学函数的数目是什么呢？那就是整个宇宙。当然了，现代的宇宙学认为，宇宙也是有穷尽的，所以我们举得这个例子并不严谨，但相信，所谓真正的粉丝，是不会计较的。