不知道多到哪里去了

发表于 讨论求助 2019-06-25 18:05:54

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不知道多到哪里去了

知识就是力量,欢迎回到2049.


最近数学话题比较多,很多朋友也反馈说,数学太抽象了,很多东西太难理解了,也有人说,数学话题做多了,会严重影响到播放量,于是今天我们就再做一期数学,反正我们的播放量本来就不多。


朋友们说得都对,数学当中许多的概念确实都很抽象难懂,换句话讲就是不是人说的话。比如康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理、魏尔斯特拉斯定理、博苏克-乌拉姆定理,这些数学术语光是听上去就让人觉得DAN疼。而要是真正深入学习的话,别说DAN疼了,有时候甚至是DNA都疼。


不过相比之下,无穷也是一个数学术语,但是却要比上面说这些好懂太多。那么什么是无穷呢?无穷中还有哪些姿势呢?这就是我们今天的话题了。


说起无穷,我不由地想起了多年前jzm zsj写给挚友王慧炯信中的话:世界的知识是浩瀚的,宇宙的奥秘是无穷的。任何人毕其生去捕捉、追求这些知识奥秘,也总是极其有限的。古今中外的哲人已经积累了许多知识宝库,但离无可穷尽的宇宙,还相距甚远、永无止境。宇宙千变万化,但离不开存在的客观规律。人类的智慧,可以从其中发现许多规律,如回文、勾股、黄金分割,去不断扩展已知的领域。我们要珍惜生命的有限时间,去不断开拓知识的新领域。孔老夫子说得精辟,学,然后知不足。


可见,所谓的无穷,说通俗点就是不知道大到哪里去,或者不知道长到哪里去,或者不知道多到哪里去,抑或者就是不知道高到哪里去,总之就是牛到飞起,比谁都更给力的那个量就是无穷。虽然这个观点现在看起来很简单,但人类认识无穷真正意味着什么,却经历了漫长的历史进程。


最早讨论无穷这个概念的是哲学家,早在公元前1200-900年,印度的著作《夜柔吠陀》中就对无限作出了最早的描述。书中说:如果你从无限中移走或添加一部分,剩下的还是无限。两千多年前,古希腊哲学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”,当然了,这里的数指的是自然数。也就是说,世间的万事万物都能够用自然数来表示。


毕达哥拉斯还有一个不知道高到哪里去的贡献,就是发现了勾股定理,我们现在也把这个定理叫做毕达哥拉斯定理。当然了,毕达哥拉斯也觉得自己搞了一个大新闻,所以宰了一百头牛来庆祝,于是乎,勾股定理还有个名字,就叫“百牛定理”。话说到这里,按照一般故事的情节,那么毕达哥拉斯这辈子应该就是一个大数学家,备受门徒爱戴,而且是一副伟大、光荣、正确的形象了。但是,毕达哥拉斯的一个叫希帕索斯的门徒,却用毕达哥拉斯定理打了毕达哥拉斯的脸,搞了一个更大的新闻。希帕索斯发现,一个直角三角形的两个直角边如果都是1,那么斜边根本没法表示成分数。这件事让毕达哥拉斯他老人家听说了,他自己也亲手算了算。貌似希帕索斯说的是对的,这个数根本没法表示成分数,也就是没法表示为两个自然数的比值。希帕索斯这一发现,放在现代,名利双收不在话下。但是历史进程往往不按常理出牌,比各种神剧更狗血,这是因为再狗血的剧本也是有逻辑的,可是历史进程中的当事人本身是没有逻辑的。


毕达哥拉斯和希帕索斯的恩怨情仇就是这种情况。有了新发现的毕达哥拉斯认为根号2是一个邪恶的数,那么能得出这样数的人,自然也不是什么好货,于是他派出手下人四处追杀希帕索斯,最终将希帕索斯沉入海中,这才有了我们现在的端午节,知识都学杂了,貌似搞混了。


那么根号2就根号2呗,这个数为什么会引起了那么大的轰动呢?答案就在于根号二如果表示为小数的话,是一长串无穷无尽且不重复的小数。这让当时的人们感到非常的困惑,也非常恐慌。还有一个类似的量,就是圆周率,古希腊的阿基米德和中国的祖冲之不约而同地,采用了类似的方法计算圆周率。他们的方法说到底就是在圆内内接一个三角形,再将这个三角形变成四边形,然后是五边形,依次类推,随着边数的增加,多边形的周长就越来越接近圆的周长。但是,随着圆周率计算精度的提高,人们发现,圆周率和根号2一样,也没法用分数表示,就这样,人们发现了这类小数点后有无穷多位数字的数,这就是无理数。


实际上除了困惑与恐慌外,无穷的概念也让古希腊人非常恼火,他们认为这样一来的话,就再也无法用数字来解释世间万物万象了。而到了现在,在我们实际运用这些无理数的时候,也只能截取前面几位来近似表示和取值,这样就不精确了,这种不精确会逼疯很多处女座的。


不过,就算根号二小数点后位数再多,它也只是一个大于1,小于2的数罢了,圆周率也一样,说穿了,它也不过是一个大概是3.14的数而已,无理数的无穷是无穷多,这还不至于把人逼疯。


更让古希腊人头疼的,其实是另一类无穷,这就是无穷大。就比如假设宇宙是没有尽头的,那么有一个勇士向外扔出一杆飞矛会发生什么呢?长矛最终会飞向哪里呢?亚里士多德对这个问题进行了长期的思考,他认为长矛不会飞向无穷远,而是会加入天上星星的行列,在一个以地球为中心的一个水晶球体内运动。


除此之外,亚里士多德还研究了圆周率等无理数。他发现,每重新计算一次,小数点后的位数都能增加一位,但我们却永远也不会知道他最末的一位是几,亚里士多德把这种现象称为“潜无穷”。与潜无穷相对的就是“实无穷”,比如组成一条线的所有点,这完全不可数。那么亚里士多德是怎么解释无穷的呢?现在看来,他也不知道,因为他把无穷的地位,留给了所谓的第一推动力,也就是超越人类理解范畴的创世原动力。这个观点得到了后来那些相信上帝存在的人的有力支持。


前面我们大致说了阿基米德求圆周率数值的方法,这种细细分割然后加在一起的技巧,在2000年后得到了发展,这就是由牛顿和莱布尼茨提出的微积分,微积分可以说是当今科学技术的奠基石。不过微积分的提出,并没有让无穷的理论得到发展,原因就是美国作家华莱士所形容的那样,基于潜无穷理论的数理反应。现在大家看到照片中戴头巾的人就是华莱士,当然了华莱士说的也不像人话,我们普通人也难以理解,很难和他一起谈笑自若、妙语横生的,其实他的意思简单来说就是,人们觉得无穷这个概念只有上帝才能拥有,这和亚里士多德的观点是如出一辙的。

华莱士

其实直到现在,无穷大这个概念依然让人非常困惑,因为这会得出一些极为古怪的结论。比说说有无穷多的猴子和无穷个打印机,让这些猴子在打字机上胡乱敲击键盘,只要时间足够长,总是能打印出莎士比亚全集。同样的,要是宇宙真的是无穷的,那么就必然存在着一个星球,上面也生活着和地球人一样的生物,甚至存在着无数多个黄博士和潘博士,而且这些黄博士中有不猥琐,有女朋友的;这些潘博士中,也有长着一头秀发的。

无限猴子猜想

显而易见的是,这样的结论是违反我们的直觉的,所以无穷大这个话题,数学家们历来是避而不谈的。不过德国数学家康托尔是不信邪的,在提出了集合论之后,他开始认真思考这个问题。假如集合里有无穷多个元素,那么这个集合就叫做无穷集合。康托尔于是想到,两个无穷集合的元素,谁多谁少能不能作比较呢?换句话说,无穷和无穷的数量能不能比一比呢? 

康托尔

大家可以想到,无穷和无穷相互之间比较谁多谁少,这是件极为耗费脑力的事,康托尔在付出了极大的精力之后,终于提出了无限集合的相关结论,但却遭到了同行的极大反对,尤其是康托尔的老师克罗内克,关于集合论,我们打算以后专做长篇节目来讨论,今天暂且略过不表。令人唏嘘的是,在毕生的心血遭到否定之后,康托尔精神崩溃了,患上了精神疾病,以至于生命的最后几年,康托尔都是在精神病院里度过的。 

克罗内克

不过真理早晚会横扫一切偏见,虽然康托尔的研究成果在当时不被认可,但是现在数学界早已认识到康托尔研究成果的巨大意义。康托尔把集合里元素的数目叫作“势”,举个例子来说,现在民间有一个集合叫“2049团伙成员”,这个集合由四个吊丝组成,那么这个集合的“势”就是4,还有个集合叫“中国人民的老朋友”,这个集合的”势”那就多了。

像上面两个例子里,集合中元素的个数是有限的,这样很好作比较。那么要是集合里的元素有无穷多个,又该怎么比较呢?康托尔定义了一个用希伯来字母表示的量,叫阿列夫。自然数的势康托尔定义为阿列夫0,实数集的势为阿列夫1,一切可能的数学函数的总数目是阿列夫2。


康托尔通过一连串烧脑的计算证明了,阿列夫0小于阿列夫1,而阿列夫1小于阿列夫2,换句话说,虽然都是无穷大,但是实数的数量比自然数多,一切可能的数学函数的总数目又比实数多。虽然大家可能会问了,都是无穷多,又怎么相互比较呢?康托尔具体的计算,我们的能力是搞不明白了,但可以举个形象的例子就是,我们看到的满天繁星就是自然数集,我们看到的整个天幕则是实数集,而一切可能的数学函数的数目是什么呢?那就是整个宇宙。当然了,现代的宇宙学认为,宇宙也是有穷尽的,所以我们举得这个例子并不严谨,但相信,所谓真正的粉丝,是不会计较的。

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